1、正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。

2、正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交。

3、正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開(kāi)始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。

拓展資料：

正態(tài)分布，也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。

正態(tài)分布的3個(gè)數(shù)值

正態(tài)分布的那三個(gè)數(shù)是：99.74%、95.45%、68.27%。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多方面有著重大的影響力。期望值μ=0，即曲線圖象對(duì)稱軸為Y軸，標(biāo)準(zhǔn)差σ=1條件下的正態(tài)分布，記為N。

正態(tài)分布的曲線應(yīng)用

綜述

⒈估計(jì)頻數(shù)分布一個(gè)服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差就可根據(jù)公式即可估計(jì)任意取值范圍內(nèi)頻數(shù)比例。

⒉制定參考值范圍

⑴正態(tài)分布法適用于服從正態(tài)分布指標(biāo)以及可以通過(guò)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)。

⑵百分位數(shù)法常用于偏態(tài)分布的指標(biāo)。表3-1中兩種方法的單雙側(cè)界值都應(yīng)熟練掌握。

⒊質(zhì)量控制：為了控制實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量誤差，常以作為上、下警戒值，以作為上、下控制值。這樣做的依據(jù)是：正常情況下測(cè)量誤差服從正態(tài)分布。

⒋正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)。檢驗(yàn)、方差分析、相關(guān)和回歸分析等多種統(tǒng)計(jì)方法均要求分析的指標(biāo)服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計(jì)方法雖然不要求分析指標(biāo)服從正態(tài)分布，但相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量在大樣本時(shí)近似正態(tài)分布，因而大樣本時(shí)這些統(tǒng)計(jì)推斷方法也是以正態(tài)分布為理論基礎(chǔ)的。例1.10某地1993年抽樣調(diào)查了100名18歲男大學(xué)生身高，其均數(shù)=172.70cm，標(biāo)準(zhǔn)差s=4.01cm，①估計(jì)該地18歲男大學(xué)生身高在168cm以下者占該地18歲男大學(xué)生總數(shù)的百分?jǐn)?shù)；②分別求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范圍內(nèi)18歲男大學(xué)生占該地18歲男大學(xué)生總數(shù)的實(shí)際百分?jǐn)?shù)，并與理論百分?jǐn)?shù)比較。

本例，μ、σ未知但樣本含量n較大，按式用樣本均數(shù)X和標(biāo)準(zhǔn)差S分別代替μ和σ，求得u值，u=/4.01=-1.17。查附表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積，在表的左側(cè)找到-1.1，表的上方找到0.07，兩者相交處為0.1210=12.10%。該地18歲男大學(xué)生身高在168cm以下者，約占總數(shù)12.10%。其它計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3100名18歲男大學(xué)生身高的實(shí)際分布與理論分布分布

x+-s身高范圍實(shí)際分布

人數(shù)實(shí)際分布

百分?jǐn)?shù)理論分布X+-1s168.69～176.716767.0068.27X+-1.96s164.84～180.569595.0095.00X+-2.58s162.35～183.059999.0099.00考試成績(jī)及學(xué)生綜合素質(zhì)研究

教育統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)規(guī)律表明，學(xué)生的智力水平，包括學(xué)習(xí)能力，實(shí)際動(dòng)手能力等呈正態(tài)分布。因而正常的考試成績(jī)分布應(yīng)基本服從正態(tài)分布。考試分析要求繪制出學(xué)生成績(jī)分布的直方圖，以“中間高、兩頭低”來(lái)衡量成績(jī)符合正態(tài)分布的程度。其評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為：考生成績(jī)分布情況直方圖，基本呈正態(tài)曲線狀，屬于好，如果略呈正態(tài)狀，屬于中等，如果呈嚴(yán)重偏態(tài)或無(wú)規(guī)律，就是差的。

從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律看，“正常的考試成績(jī)分布應(yīng)基本服從正態(tài)分布”是正確的。但是必須考慮人與物的本質(zhì)不同，以及教育的有所作為可以使“隨機(jī)”受到干預(yù)，用曲線或直方圖的形狀來(lái)評(píng)價(jià)考試成績(jī)就有失偏頗。許多教育專家已經(jīng)通過(guò)實(shí)踐論證，教育是可以大有作為的，可以做到大多數(shù)學(xué)生及格，而且多數(shù)學(xué)生可以得高分，考試成績(jī)曲線是偏正態(tài)分布的。但是長(zhǎng)期受到“中間高、兩頭低”標(biāo)準(zhǔn)的影響，限制了教師的作為，抑制了多數(shù)學(xué)生能夠?qū)W好的信心。這是很大的誤會(huì)。通常正態(tài)曲線有一條對(duì)稱軸。當(dāng)某個(gè)分?jǐn)?shù)的考生人數(shù)最多時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線的最高點(diǎn)，是曲線的頂點(diǎn)。該分?jǐn)?shù)值在橫軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與頂點(diǎn)連接的線段就是該正態(tài)曲線的對(duì)稱軸。考生人數(shù)最多的值是峰值。我們注意到，成績(jī)曲線或直方圖實(shí)際上很少對(duì)稱的，稱之為峰線更合適。某些醫(yī)學(xué)現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量，以及實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標(biāo)雖服從偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的新變量可服從正態(tài)或近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理。其中經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)，被稱為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

醫(yī)學(xué)參考值范圍亦稱醫(yī)學(xué)正常值范圍。它是指所謂“正常人”的解剖、生理、生化等指標(biāo)的波動(dòng)范圍。制定正常值范圍時(shí)，首先要確定一批樣本含量足夠大的“正常人”，所謂“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群；其次需根據(jù)研究目的和使用要求選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缰担?0%，90%，95%和99%，常用95%；根據(jù)指標(biāo)的實(shí)際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值，如白細(xì)胞計(jì)數(shù)過(guò)高過(guò)低皆屬不正常須確定雙側(cè)界值，又如肝功中轉(zhuǎn)氨酶過(guò)高屬不正常須確定單側(cè)上界，肺活量過(guò)低屬不正常須確定單側(cè)下界。另外，還要根據(jù)資料的分布特點(diǎn)，選用恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。常用方法有：

⑴正態(tài)分布法：適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料。

雙側(cè)界值：X+-u^S單側(cè)上界：X+u^S，或單側(cè)下界：X-u^S

⑵對(duì)數(shù)正態(tài)分布法：適用于對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料。

雙側(cè)界值：lg-1[X+-uS]；單側(cè)上界：lg-1[X+uS]，或單側(cè)下界：lg-1[X-uS]。

常用u值可根據(jù)要求由表4查出。

⑶百分位數(shù)法：常用于偏態(tài)分布資料以及資料中一端或兩端無(wú)確切數(shù)值的資料。

雙側(cè)界值：P2.5和P97.5；單側(cè)上界：P95，或單側(cè)下界：P5。

表4常用u值表參考值范圍。從理論上看，正態(tài)分布具有很多良好的性質(zhì)，許多概率分布可以用它來(lái)近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導(dǎo)出的，例如對(duì)數(shù)正態(tài)分布、t分布、F分布等。

主要內(nèi)涵

在聯(lián)系自然、社會(huì)和思維的實(shí)踐背景下，我們以正態(tài)分布的本質(zhì)為基礎(chǔ)，以正態(tài)分布曲線及面積分布圖為表征，進(jìn)行抽象與提升，抓住其中的主要哲學(xué)內(nèi)涵，歸納正態(tài)分布論的主要內(nèi)涵如下：

整體論

正態(tài)分布啟示我們，要用整體的觀點(diǎn)來(lái)看事物。“系統(tǒng)的整體觀念或總體觀念是系統(tǒng)概念的精髓。”正態(tài)分布曲線及面積分布圖由基區(qū)、負(fù)區(qū)、正區(qū)三個(gè)區(qū)組成，各區(qū)比重不一樣。用整體來(lái)看事物才能看清楚事物的本來(lái)面貌，才能得出事物的根本特性。不能只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林，也不能以偏概全。此外整體大于部分之和，在分析各部分、各層次的基礎(chǔ)上，還要從整體看事物，這是因?yàn)檎w有不同于各部分的特點(diǎn)。用整體觀來(lái)看世界，就是要立足在基區(qū)，放眼負(fù)區(qū)和正區(qū)。要看到主要方面，還要看到次要方面，既要看到積極的方面還要看到事物消極的一面，看到事物前進(jìn)的一面還要看到落后的一面。片面看事物必然看到的是偏態(tài)或者是變態(tài)的事物，不是真實(shí)的事物本身。

重點(diǎn)論

正態(tài)分布曲線及面積分布圖非常清晰的展示了重點(diǎn)，那就是基區(qū)占68.27%，是主體，要重點(diǎn)抓，此外95%，99%則展示了正態(tài)的全面性。認(rèn)識(shí)世界和改造世界一定要住住重點(diǎn)，因?yàn)橹攸c(diǎn)就是事物的主要矛盾，它對(duì)事物的發(fā)展起主要的、支配性的作用。抓住了重點(diǎn)才能一舉其綱，萬(wàn)目皆張。事物和現(xiàn)象紛繁復(fù)雜，在千頭萬(wàn)緒中不抓住主要矛盾，就會(huì)陷入無(wú)限瑣碎之中。由于我們時(shí)間和精力的相對(duì)有限性，出于效率的追求，我們更應(yīng)該抓住重點(diǎn)。在正態(tài)分布中，基區(qū)占了主體和重點(diǎn)。如果我們結(jié)合20/80法則，我們更可以大膽的把正區(qū)也可以看做是重點(diǎn)。

發(fā)展論

聯(lián)系和發(fā)展是事物發(fā)展變化的基本規(guī)律。任何事物都有其產(chǎn)生、發(fā)展和滅亡的歷史，如果我們把正態(tài)分布看做是任何一個(gè)系統(tǒng)或者事物的發(fā)展過(guò)程的話，我們明顯的看到這個(gè)過(guò)程經(jīng)歷著從負(fù)區(qū)到基區(qū)再到正區(qū)的過(guò)程。無(wú)論是自然、社會(huì)還是人類的思維都明顯的遵循這這樣一個(gè)過(guò)程。準(zhǔn)確的把握事物或者事件所處的歷史過(guò)程和階段極大的有助于掌握我們對(duì)事物、事件的特征和性質(zhì)，是我們分析問(wèn)題，采取對(duì)策和解決問(wèn)題的重要基礎(chǔ)和依據(jù)。發(fā)展的階段不同，性質(zhì)和特征也不同，分析和解決問(wèn)題的辦法要與此相適應(yīng)，這就是具體問(wèn)題具體分析，也是解放思想、實(shí)事求是、與時(shí)俱樂(lè)進(jìn)的精髓。正態(tài)發(fā)展的特點(diǎn)還啟示我們，事物發(fā)展大都是漸進(jìn)的和累積的，走漸進(jìn)發(fā)展的道路是事物發(fā)展的常態(tài)。例如，遺傳是常態(tài)，變異是非常態(tài)。

總之，正態(tài)分布論是科學(xué)的世界觀，也是科學(xué)的方法論，是我們認(rèn)識(shí)和改造世界的最重要和最根本的工具之一，對(duì)我們的理論和實(shí)踐有重要的指導(dǎo)意義。以正態(tài)哲學(xué)認(rèn)識(shí)世界，能更好的認(rèn)識(shí)和把握世界的本質(zhì)和規(guī)律，以正態(tài)哲學(xué)來(lái)改造世界，能更好的在尊重和利用客觀規(guī)律，更有效的改造世界。

弗朗西斯弗朗西斯·高爾頓[FrancisGalton1822.02.16－1911.01.17]，英國(guó)探險(xiǎn)家、優(yōu)生學(xué)家、心理學(xué)家，差異心理學(xué)之父，也是心理測(cè)量學(xué)上生理計(jì)量法的創(chuàng)始人。

高而頓對(duì)心理學(xué)的貢獻(xiàn)，大概可以歸納未差異心理學(xué)、心理測(cè)量的量化和實(shí)驗(yàn)心理學(xué)三方面：

⒈他率先研究個(gè)體差異。他在倫敦南肯辛頓博物館他的人類測(cè)量實(shí)驗(yàn)室內(nèi)，利用儀器作人類學(xué)測(cè)量及心理測(cè)量。測(cè)量項(xiàng)目有身高、體重、肺活量、拉力和握力、扣擊的速率、聽(tīng)力、視力、色覺(jué)等，以研究能力的個(gè)體差異。又用問(wèn)答法研究意象的個(gè)體差異。要求被試先確定一件事，如早餐的情境，然后被試回憶心目中出現(xiàn)餐桌上實(shí)物的意象，即食物的鮮明度、確定度等。對(duì)答案整理后，他發(fā)現(xiàn)被試的意象有很大的個(gè)體差異：有的人以肌肉運(yùn)動(dòng)覺(jué)意象為主，有的人以聽(tīng)覺(jué)意象為主，有的人以視覺(jué)意象為主。

他強(qiáng)調(diào)遺傳是形成個(gè)體差異的原因。他通過(guò)譜系調(diào)查，論證遺傳因素與個(gè)體差異的關(guān)系。他是第一個(gè)明確提出普通能力和特殊能力主張的人。他在調(diào)查1768－1868年這100年間英國(guó)的首相、將軍、文學(xué)家和科學(xué)家共977名獲得智力成熟的人的家譜后發(fā)現(xiàn)，其中有89個(gè)父親、129個(gè)兒子、114個(gè)兄弟，共332名杰出人士。而在一般老百姓中4000人才產(chǎn)生一名杰出人士。因此斷言“普通能力”是遺傳的。在調(diào)查30家有藝術(shù)能力的家庭中，他發(fā)現(xiàn)這些家庭中的子女也有藝術(shù)能力的占64%；而150家無(wú)藝術(shù)能力的家庭，其子女中只有21%有藝術(shù)能力，因此斷言藝術(shù)能力-“特殊能力”也是遺傳的。他發(fā)現(xiàn)，遺傳親屬關(guān)系程度的降低，杰出親屬的比例也顯著地下降。他還用80對(duì)雙生子的資料，以雙生子比其他親兄弟、親姐妹在心理特點(diǎn)上更為相像的事例，證明人的心理完全是遺傳的。由此也使他第一個(gè)注意到同卵雙生和異卵雙生在估計(jì)遺傳和環(huán)境因素在人的變異方面的相對(duì)作用的方法論的重要性。高爾頓根據(jù)遺傳與個(gè)體差異的關(guān)系倡導(dǎo)善擇配偶，改良人種，并在1883年《人類才能及其發(fā)展的研究》一書(shū)中首創(chuàng)“優(yōu)生學(xué)”這一術(shù)語(yǔ)。

⒉心理學(xué)研究之量化，始自高爾頓。他發(fā)明了許多感官和運(yùn)動(dòng)的測(cè)試，并以數(shù)量代表所測(cè)得的心理特質(zhì)之差異。他認(rèn)為人的所有特質(zhì)，不管是物質(zhì)的還是精神的，最終都可以定量敘述，這是實(shí)現(xiàn)人類科學(xué)的必要條件，故最先應(yīng)用統(tǒng)計(jì)法處理心理學(xué)研究資料，重視數(shù)據(jù)的平均數(shù)與高中差數(shù)。他收集了大量資料證明人的心理特質(zhì)在人口中的分布如同身高、體重那樣符合正態(tài)分布曲線。他在論及遺傳對(duì)個(gè)體差異的影響時(shí)，為相關(guān)系數(shù)的概念作了初步提示。如他研究了“居間親”和其成年子女的身高關(guān)系，發(fā)現(xiàn)居間親和其子女的身高有正相關(guān)，即父母的身材較高，其子女的身材也有較高的趨勢(shì)。反之，父母的身材較低，其子女也有較矮的趨勢(shì)。同時(shí)發(fā)現(xiàn)子女的身高常與其父母略有差別，而呈現(xiàn)“回中”趨勢(shì)，即離開(kāi)其父母的身高數(shù)，而回到一般人身高的平均數(shù)。

⒊1883年，高爾頓出版了《人類才能及其發(fā)展的研究》，書(shū)中概括地表述了兩項(xiàng)在實(shí)驗(yàn)心理學(xué)中極為重要的研究方法和成果。第一個(gè)是關(guān)于自由聯(lián)想的實(shí)驗(yàn)：他事先在75張紙條上各寫(xiě)一個(gè)單詞，每次只讓受試者看一張紙條，再用一個(gè)精密的計(jì)時(shí)器測(cè)出由此引出的兩個(gè)即興到來(lái)的聯(lián)想所需的時(shí)間，然后對(duì)這些聯(lián)想在受試者的經(jīng)驗(yàn)中的可能起源加以分析，他發(fā)現(xiàn)最經(jīng)常的聯(lián)想往往來(lái)自遙遠(yuǎn)的童年。在這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中，他還證實(shí)人類具有一種看到或聽(tīng)到某一數(shù)字就能聯(lián)想到某一特定形狀的能力，他稱這種現(xiàn)象為“數(shù)目形”。第二個(gè)是關(guān)于心理意象的廣泛調(diào)查：他要求受試者先想一件確定的東西，然后盡量注意自己的“心視”畫(huà)面，并回答如明亮度，清晰度、色彩等一系列問(wèn)題，并按其強(qiáng)度記分。值得一提的是，在這些研究中，他首先在心理學(xué)中引進(jìn)了調(diào)查表和評(píng)分辦法。他對(duì)實(shí)驗(yàn)心理學(xué)的貢獻(xiàn)還包括一系列他所發(fā)明的心理測(cè)驗(yàn)儀器和測(cè)驗(yàn)方法。有些儀器后來(lái)就以他的名字來(lái)命名，例如測(cè)量聽(tīng)覺(jué)閾的高爾頓笛和測(cè)量視覺(jué)范圍的高爾頓棒，這些儀器直到20世紀(jì)30年代都是心理實(shí)驗(yàn)室的標(biāo)準(zhǔn)儀器。他還用盛有不同物質(zhì)的瓶子來(lái)測(cè)驗(yàn)嗅覺(jué)，這一方法被后人沿用至今。除此之外，他又設(shè)計(jì)了測(cè)量肌肉感覺(jué)、反應(yīng)力、觸覺(jué)的儀器和方法。

注：美國(guó)心理學(xué)家特爾曼曾根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)的記載，用他自己設(shè)計(jì)的斯坦福-比納標(biāo)準(zhǔn)對(duì)幼年的高爾頓的智力進(jìn)行了估算，他認(rèn)為高爾頓3－8歲間的智力年齡幾乎等于實(shí)際年齡的2倍，其智商約為200。

智力、能力

理查德·赫恩斯坦[，美國(guó)比較心理學(xué)家]和默瑞合著《正態(tài)曲線》一書(shū)而聞名，在該書(shū)中他們指出人們的智力呈正態(tài)分布。智力主要是遺傳的并因種族的不同而不同，猶太人、東亞人的智商最高，其次為白人，表現(xiàn)最差的是黑人、西班牙裔人。他們檢討了數(shù)十年來(lái)心理計(jì)量學(xué)與政策學(xué)的研究成果，發(fā)現(xiàn)美國(guó)社會(huì)輕忽了智商的影響愈變愈大的趨勢(shì)。他們力圖證明，美國(guó)現(xiàn)行的偏向于以非洲裔和南美裔為主的低收入階層的社會(huì)政策，如職業(yè)培訓(xùn)、大學(xué)教育等，完全是在浪費(fèi)資源。他們利用應(yīng)募入伍者的測(cè)試結(jié)果證明，黑人青年的智力低于白人和黃種人；而且，這些人的智力已經(jīng)定型，對(duì)他們進(jìn)行培訓(xùn)收效甚微。因此，政府應(yīng)該放棄對(duì)這部分人的教育，把錢用于包括所有種族在內(nèi)的啟蒙教育，因?yàn)楹⒆拥闹橇ι形炊ㄐ停_(kāi)發(fā)潛力大。由于此書(shū)涉及黑人的智力問(wèn)題，一經(jīng)出版便受到來(lái)自四面八方的圍攻。